SELAMAT DATANG SAHABAT PEMBELAJAR

Senin, 01 Juli 2019

Home » » MAKALAH Transformasi Geometri

MAKALAH Transformasi Geometri

By No comments

MAKALAH Transformasi Geometri

Pada dasarnya, yang akan kita pelajari pada materi ini adalah materi tentang perubahan karena makna dari transformasi adalah sebuah perubahan dan geometri adalah ilmu yang membahas mengenai bangun.

Maka, dapat disimpulkan bahwa transformasi geometri adalah sebuah proses penentuan titik koordinat baru dari sebuah bangun pada sebuah bidang.

Pada materi ini akan dipelajari mengenai jenis-jenis transformasi dan pengertiannya.

Sejarah Transformasi Geometri

Menurut sejarah, materi ini mulai dipelajari ketika seorang ilmuwan yang bernama Felix Klein mengemukakan sebuah teori dalam sebuah paper berjudul Erlangen Program.

Felix Klein mengatakan bahwa geometri adalah sebuah ilmu yang mempelajari tentang bangun yang bisa ditransformasikan ke dalam sebuah bentuk yang berbeda dan sifat-sifat bangun tidak terpengaruh karena perubahan yang dilakukan.

Komposisi transformasi geometri ialah materi yang cukup untuk melatih kemampuan menggambar dan kemampuan matematika kita. Sebab dengan perhitungan matematika yang tepat, kita bisa melakukan sebuah terhadap bangun-bangun yang ada pada matematika ataupun di dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah sebuah perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri.

Apabila hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka dapat disebut transformasi isometri. Sedangkan transformasi isometri sendiri mempunyai dua jenis yaitu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan.

Transformasi isometri langsung adalah termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan yaitu termasuk refleksi.

Jenis – Jenis dan Rumus Transformasi

Rumus pada transformasi geometri akan memudahkan kita untuk menentukan sebuah hasil transformasi tanpa harus menggambarnya dalam bidang kartesius terlebih dulu. Meskipun demikian, ilustrasi gambar tentang transformasi juga dapat memberikan sebuah tambahan pemahaman buat kita semua.

Oleh karena itu, yuk kita simak mengenai pembahasan tentang jenis-jenis trasnformasi yaitu translasi, refleksi, rotasi, dan dilatai pada penjabaran materi  berikut ini.

Translasi (Pergeseran)

    Translasi adalah perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu.

Penentuan hasil objek melalui translasi yaitu cukup mudah. Caranya kita hanya dengan menambahkan absis dan ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuannya. Untuk lebih jelasnya mengenai proses translasi ini, kita dapat mengamati pada gambar di bawah ini.


Refleksi (Pencerminan)

Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.
Selanjutnya, mari perhatikan uraian matriks transformasi untuk setiap jenisnya.

Pencerminan terhadap sumbu x


Pencerminan Terhadap Sumbu y





 Pencerminan terhadap Garis y = x


Pencerminan terhadap Garis y = – x 


Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)


Pencerminan terhadap Garis x = h
Pencerminan terhadap Garis y = k

Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar +alpha disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah -alpha. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi. Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135^{o} dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah
Transformasi Geometri Rotasi
Mendapatkan hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukakn hasil objek hasil rotasi, yaitu dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut rumusnya pada pembahasan di bawah.

 Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar \alpha

1.      Rotasi dengan Pusat (0,0) 
 sebesar \alpha 


 2.   Rotasi dengan Pusat (m,n)
 sebesar \alpha
 
3. Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar \alpha kemudian sebesar B
 

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda. Ukuran benda dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada dilatasi di bawah.


Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m

Rumus dilatasi pusat O
Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k,l) dengan faktor skala m
Rumus dilatasi dengan pusat P
 



Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Translasi
Hasil translasi itik P_{1}(3, -2) oleh T_{1} dilanjutkan dengan T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} menghasilkan titik P_{2}(8, 7). Komponen translasi dari T_{1} yang sesuai adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} \]
Pembahasan:
Misalkan
    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]
Diketahui:
    \[ T_{2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Maka
    \[ T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix} \]
Perhatikan proses translasi berikut.
Contoh soal dan pembahasan translasi
Mencari nilai a:
    \[ 3 + a + 2 = 8 \]
    \[ a + 5 = 8 \]
    \[ a = 8 - 5 = 3 \]
Mencari nilai b:
    \[ -2 + b + 1 = 7 \]
    \[ b - 1 = 7 \]
    \[ b = 7 + 1 = 8 \]
Jadi, nilai translasi dari T_{1} adalah
    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]
Jawaban: B
Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi
Persamaan garis 3x - y - 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; -2x - 7y -11 = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; 2x + 7y - 11 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; -2x - 7y + 11 = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2y - 7x + 11 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2x - 7y + 11 = 0 \]
Pembahasan:
Pencerminan terhadap garis y = x adalah:
Contoh soal dan pembahasan refleksi
Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x' = y dan y' = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x - y - 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.
    \[ 3x - y -11 = 0 \]
    \[ 3y' - x' - 11 = 0 \]
    \[ - x' + 3y'- 11 = 0 \]
Selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}:
    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix} \]
Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.
    \[ -3x' + 2y' = x'' \]
    \[ -x' + y' = y'' \]
Mencari nilai x':
Metode eliminasi variabel
Mencari nilai y':
Metode eliminasi variabel
Subtitusi hasil x' dan y' di atas pada persamaan  – x’ + 3y’- 11 = 0:
    \[ -x' + 3y' - 11 = 0 \]
    \[ -\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0 \]
    \[ -2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0 \]
    \[ -2x'' + 7y'' - 11 = 0 \]
    \[ 2x'' - 7y'' + 11 = 0 \]
Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.
Jawaban: E

0 komentar:

Posting Komentar